贝叶斯因子

使用贝叶斯因子比较正态均值是否为0的两个假设.

$$H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1: \mu\ne \mu_0 $$

样本$X_1,\ldots,X_n i.i.d\sim N(\mu,\sigma^2)$, 先验分布:

● $\pi(\theta)=0.5, \mu=\mu_0$

● $\pi(\theta)=0.5 \cdot dnorm(\mu_0,\sigma^2/n_0), \mu\ne\mu_0$

贝叶斯因子为$$BF_{10}=\Big(\frac{n+n_0}{n_0}\Big)^{-1/2}exp\Big(\frac{1}{2}\frac{n}{n+n_0}Z^2\Big)$$

其中$Z=\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)/\sigma$.

则$BF_{10}$的值比1越大, 支持$H_1$的证据就越大;$BF_{10}$的值比1越小, 支持$H_0$的证据就越大.

对$\mu_0=0,\sigma=1$, 调整左侧$Z$和$n0$的值, 观察不同样本量$n$下贝叶斯因子值的变化情况

● Lindley悖论: 对任意检验水平$\alpha$, 存在样本量$N(\alpha)$和样本$X_1,\ldots,X_n$, 使得(1) $H_0$在水平$\alpha$下被拒绝; (2) 后验概率$P(H_0|X_1,\ldots,X_n)\ge 1-\alpha$. 即频率方法下显著性检验与贝叶斯方法下检验结论相悖.

●Bartlett悖论: 当先验精度趋于0时($n_0\rightarrow 0$), 不管样本值如何贝叶斯因子都偏好于零假设$H_0$.