贝叶斯因子

使用贝叶斯因子比较正态均值是否为0的两个假设.

$H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1: \mu\ne \mu_0$

样本 $X_1,\ldots,X_n i.i.d\sim N(\mu,\sigma^2)$ , 先验分布:

● $\pi(\theta)=0.5, \mu=\mu_0$

● $\pi(\theta)=0.5 \cdot dnorm(\mu_0,\sigma^2/n_0), \mu\ne\mu_0$

贝叶斯因子为 $BF_{10}=\Big(\frac{n+n_0}{n_0}\Big)^{-1/2}exp\Big(\frac{1}{2}\frac{n}{n+n_0}Z^2\Big)$

其中 $Z=\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)/\sigma$ .

则 $BF_{10}$ 的值比1越大, 支持 $H_1$ 的证据就越大; $BF_{10}$ 的值比1越小, 支持 $H_0$ 的证据就越大.

对 $\mu_0=0,\sigma=1$ , 调整左侧 $Z$ 和 $n0$ 的值, 观察不同样本量 $n$ 下贝叶斯因子值的变化情况

● Lindley悖论: 对任意检验水平 $\alpha$ , 存在样本量 $N(\alpha)$ 和样本 $X_1,\ldots,X_n$ , 使得(1) $H_0$ 在水平 $\alpha$ 下被拒绝; (2) 后验概率 $P(H_0|X_1,\ldots,X_n)\ge 1-\alpha$ . 即频率方法下显著性检验与贝叶斯方法下检验结论相悖.

●Bartlett悖论: 当先验精度趋于0时( $n_0\rightarrow 0$ ), 不管样本值如何贝叶斯因子都偏好于零假设 $H_0$ .