德军坦克问题

观测数据 \(x=(x_{ 1},\cdots,x_{ k})\), 不放回来自于 \(1,\cdots,N\), 则最大值 \(x_{(k)}\)的分布为:
$$ P(X_{(k)}=m)=\binom{m-1}{k-1}\Big/\binom{N}{k}. $$ 利用 \(\sum\limits_{m=k}^N\binom{m}{k}=\binom{N+1}{k+1}\), 则 $$E X_{(k)}=\mu=\sum_{m=k}^Nm\binom{m-1}{k-1}\Big/\binom{N}{k}=\frac{k(N+1)}{k+1}.$$ 因此, 可以得到 $$N=\mu(1+k^{-1})-1.$$ 于是由矩估计方法可知 \(N\)的矩估计量为 $$\hat{N}=X_{(k)}(1+k^{-1})-1=m(1+k^{-1})-1.$$ 可以证明, \(\hat{N}\)是$N\)的最小方差无偏估计. 其方差为 $$Var(\hat{N})=(1+k^{-1})^2Var(X_{(k)})=\frac1k\frac{(N-k)(N+1)}{k+2}\approx\frac{N^2}{k^2} \mbox{当}k\ll N.$$ 从而标准差约为 \(N/k\).